Такие непростые простые числа
Простые числа (те натуральные числа, которые имеют только два натуральных делителя: единицу и само себя) далеко не так просты, как может показаться на первый взгляд. Скорее наоборот: среди всевозможных чисел они таят, наверное, наибольшее количество загадок, над которыми вот уже много столетий бьются лучшие математики.
17 сентября исполняется 185 лет со дня рождения Георга Римана — ученого, который за десять лет научной деятельности преобразил математику.
Два, три, пять, семь, одиннадцать, тринадцать, семнадцать… — с каждым годом математики отыскивают все большие и большие простые числа. Если во времена Эйлера таковым было 2147483647, то сегодняшний рекордсмен — 2 в степени 43112609 минус 1 — в десятичной записи имеет 12978189 разрядов! Но математиков куда больше конкретных простых чисел интересуют связанные с ними закономерности: сколько их, какова логика их появления среди натуральных чисел и т.д. И если бесконечность количества простых чисел сумел доказать еще Евклид, то второй вопрос математики не могут разрешить до сих пор.
Некоторый свет на него пролило совершенно случайное открытие польско-американского математика Станислава Улама (кстати, наш соотечественник — он родился в польском тогда Львове). Как-то в 1963 году, сидя на скучном докладе, ученый стал по спирали заполнять числами клеточки тетрадного листка, при этом машинально отмечал среди них простые. Оказалось, что простые числа располагаются не хаотично, а образуют орнаменты из диагональных линий.
Современные компьютеры строят такие «вышиванки» (математики не очень уважительно называют их «скатертями Улама») для десятков миллионов чисел, и найденная закономерность подтверждается. Однако подвести под эту «красоту» прочный теоретический фундамент пока не удалось.
Столетием же раньше, во времена Георга Римана, и эта закономерность была неизвестна. Риману удалось совершить прорыв: он обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих данное, связано с распределением особой так называемой дзета-функции. Подмеченную закономерность Риман успешно проверил на огромном количестве примеров, но строго доказать ее не смог — ограничился формулировкой соответствующей гипотезы.
В 1900 году, через 34 года после смерти Римана, его загадочную гипотезу Давид Гилберт включил под номером 8 в свой знаменитый список величайших проблем математики. Показательно, что сам Гильберт относился к гипотезе Римана очень трепетно. Когда его спросили, что бы он сделал, проспав пятьсот лет, тот ответил: «Первым делом я бы спросил, доказана ли гипотеза Римана».
Прошло еще столетие, и Математический институт Клэя в 2000 году обнародовал новый список – так называемые «Проблемы тысячелетия», за решение каждой из которых обещан миллион долларов. Время показало обоснованность предпочтений Гильберта: большая часть из его 23 проблем была решена в течение XX столетия, некоторые отклонены как слишком общие или некорректно сформулированные. И только одна, та самая 8-я проблема, перекочевав в «Список тысячелетия», продолжает бросать вызов математической науке.
Интересно, что простые числа не были основным объектом исследований Римана. Ученый пришел к ним в конце своего творчества, будучи специалистом в области теории функций. С функций же, кстати, и начался его научный путь: в 1851 году он получил докторскую степень за работу «Основания теории функций комплексной переменной». Тогда Риман впервые описал названную позже его именем поверхность; с изучения ее свойств началось еще одно «неосновное» направление исследований, положившее начало новой геометрии.
Риман оформил свои выросшие из теории функций геометрические идеи в знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» 1854 года. Читал он ее «вынужденно» – перед профессорами Геттингенского университета в надежде получить преподавательскую должность. Понимания и поддержки у потенциальных коллег он тогда не встретил, возможно, из-за панического страха публичных выступлений, и в итоге остался без работы. Лишь позже устроился приват-доцентом читать спецкурс по одному из видов функций. Желаемую должность экстраординарного профессора Риман получил лишь тремя годами позже – после того, как опубликовал фундаментальный труд в этой области.
В созданной новой геометрии Риман поднял дотоле абсолютно «нематематические» вопросы. В частности, существование метрики ученый объяснял свойствами самого пространства, физическими силами связи. В этом смысле риманова геометрия стала предтечей теории относительности. «Риман первым распространил цепь рассуждений Гаусса на континуумы произвольного числа измерений, – сказал о нем Эйнштейн, — он пророчески предвидел физическое значение этого обобщения евклидовой геометрии».
Важной заслугой ученого стали первые, непонятные современникам мысли о том, что геометрия микро- и макромира совсем не обязательно должна совпадать с привычной трехмерной евклидовой. «Эмпирические понятия, на которых основывается установление пространственных метрических отношений, — понятия твердого тела и светового луча, по-видимому, теряют всякую определенность в бесконечно малом, — писал он. –— Они должны быть проверены также и в сторону неизмеримо большого».
Впрочем, в том, что Риман в своей математике очень близко подошел к физическим проблемам, нет ничего удивительного, ведь его учителем был Карл Гаусс, о котором трудно сказать, кем он был больше — математиком или физиком. Некоторое время Риман даже читал в Геттингене курс математической физики.
Вклад, внесенный Георгом Риманом в науку, сложно переоценить. И это тем более удивительно, что ему выпало работать всего десять лет: в 1866 году, не дожив до сорока лет, ученый умер от туберкулеза. В 1866-м ученики собрали и посмертно издали все его труды – набралось на маленький томик. Попал туда и сохранившийся текст непринятого геттингенскими профессорами выступления.
