Загадки Августа Мёбиуса
Легендарная проблема четырех красок и односторонняя лента — самые эффектные, но далеко не единственные открытия, связанные с именем выдающегося немецкого математика Августа Фердинанда Мебиуса, 120-летие со дня рождения которого мировая общественность отметила 17 ноября.
Кого из нас в детстве не завораживала пестрота политического глобуса? Однако это обилие красок преследует в первую очередь сугубо практическую цель — сделать так, чтобы страны не сливались друг с другом. Если два государства имеют хоть километр общей границы, они должны быть окрашены в разные цвета. И сколько цветов, в принципе, достаточно для такой цели? Двадцать? Десять? А может, всего пять?
В 1852 году студент, а впоследствии известный южноафриканский математик Френсис Гутри задался целью доказать возможность раскраски сферы четырьмя цветами. С тех пор проблема четырех красок — а к ней, как оказалось, сводятся многие фундаментальные задачи — стала одной из самых известных в математике.
Мало кто знает, что еще в 1840 году, за двенадцать лет до Гутри, аналогичную задачу сформулировал Август Мебиус, который сегодня неразрывно ассоциируется с другой «игрушкой» — лентой с односторонней поверхностью, носящей его имя.
С проблемой четырех красок не смогли справиться ни Мебиус, ни Гутри. Впоследствии многие крупные математики «принимали вызов», но одолеть кажущуюся на первый взгляд простой задачку не могли. Всевозможные выдуманные карты раскрасить удавалось. Но математика, как известно, — наука точная, и пока возможность раскраски не конкретной, а любой карты не была доказана, в истории нельзя было ставить точку. В 1879 году доказательство предложил талантливый английский математик-самоучка — адвокат Альфред Кемпе, однако уже через год оно было опровергнуто. Правда, на основании его идей удалось строго доказать, что можно раскрасить глобус пятью красками. В том же 1880-м свою разработку представил авторитетный шотландский математик Питер Тэт; его доказательство продержалось дольше — одиннадцать лет, однако тоже было опровергнуто. Интересно, что у самих картографов такая проблема вообще не стояла: все реальные карты отлично раскрашивались не только четырьмя, но порой даже тремя цветами, так что более «земные» географы посмеивались над чудаками-математиками, воюющими с собственноручно построенными ветряными мельницами.
Решение было найдено только в 1976 году, став знаковым событием в мировой науке. Для доказательства авторам — Кеннету Аппелю и Вольфгангу Хакену из Иллинойского университета понадобился компьютер, что сделало проблему четырех красок первой серьезной задачей, решенной с помощью вычислительной машины. Это же обстоятельство вызвало скепсис у многих представителей математической науки: по их мнению, строгое доказательство должно быть простым и аналитическим. Однако в данном случае без техники обойтись оказалось просто невозможно: один только алгоритм доказательства занимал… 741 страницу, а о том, чтобы реализовать его «в уме», не могло быть и речи.
Лента Мебиуса — не менее яркий пример «несерьезного» изобретения гениального математика. Для большинства из нас это просто забавная математическая игрушка. Сделать ее может и ребенок, достаточно склеить бумажную полоску, предварительно повернув один торец на 180 градусов. Получившаяся поверхность односторонняя — в том смысле, что из любой точки в другую можно попасть, не пересекая край. В этом можно легко убедиться, рисуя на ленте линию: через некоторое время окажется, что она проходит и по внутренней, и по внешней стороне. У ленты Мебиуса есть много замечательных свойств: разрежьте ее вдоль посередине, и вы получите… одну, вдвое более закрученную ленту. Если же будете резать, отступив от края на треть, получите две ленты, сцепленные в гирлянду. На этих фокусах у многих мальчишек и девчонок формировалась любовь к математике, однако ценность ленты вовсе не ограничивается педагогическим моментом. Созданная в 1858 году, она ознаменовала начало в математике эры топологии — науки о непрерывности и неизменных свойствах пространства. Кстати, сам по себе факт открытия первой односторонней поверхности ученый не считал серьезным результатом: по его мнению, научную ценность представляли свойства и обобщения установленных на ней закономерностей. Может быть, поэтому статья о ленте была опубликована уже посмертно.
Действительно, специалисты знают Мебиуса как автора фундаментальных трудов в области геометрии и теории чисел. В проективной геометрии он ввел общее понятие проективного преобразования, сегодня известного как преобразование Мебиуса. Аналитическую геометрию он обогатил исследованием свойств пространственных алгебраических кривых третьего порядка и введением барицентрических координат, описывающих положение произвольной точки через центр масс других точек. В золотой фонд теории чисел навсегда вошла мультипликативная арифметическая функция, характеризующая разложение числа на простые делители, — функция Мебиуса…
Разносторонностью научных интересов Август Мебиус во многом обязан своему учителю, известному математику и астроному Карлу Моллвейде. Это под его влиянием студент Лейпцигского университета после первого семестра перевелся с юридического на математический факультет. И это Моллвейде выхлопотал для своего талантливого ученика шикарную последипломную стажировку: сначала в Геттингене слушать лекции по астрономии в исполнении самого Карла Гаусса, а потом в Галле совершенствоваться как математик у Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. Не исключено, что благодаря авторитету Моллвейде Мебиус, работающий над докторской диссертацией, избежал призыва в прусскую армию. После защиты в 1816 году двадцатишестилетний Мебиус по рекомендации учителя был назначен экстраординарным профессором астрономии в Лейпцигском университете. Тогда же он начал работать в знаменитой Плейсенбургской обсерватории под Лейпцигом — сперва астрономом-наблюдателем, а позже и директором.
Мебиус-астроном оставил после себя сравнительно мало работ — по планетарным затмениям, принципам астрономии и небесной механике. Однако в данном случае небольшое количество с лихвой компенсируется качеством: все его труды содержат массу необычайно оригинальных математических идей, заметно отличающих работы Мебиуса от большинства сочинений других астрономов-практиков того времени. А совсем недавно, десять лет назад, Август Мебиус еще раз и навсегда вошел в анналы астрономии: его именем назван новооткрытый астероид 28516.
