Ритмичтность: наука и жизнь

Мольеровский герой однажды удивился, узнав, что говорит прозой. Действительно, рядовому гражданину вряд ли придет в голову укладывать свою жизнь в терминологию той или иной науки. Да и нужно ли? Дать научное объяснение всему сущему, а если надо, даже «поверить алгеброй гармонию» – задача ученых. А потом преподнести человечеству свою красивую теорию, которая, как известно, суха, но древо жизни питает исправно. Математики – не исключение.

Потолкуем?

Часто в задачах управления, исследования тех или иных процессов приходится сталкиваться с ритмичностью – ритмическими сигналами, явлениями, стохастическими (обусловленными случайностью) системами, функционирующими в условиях ритмики. Следует заметить, что в зависимости от контекста вместо слов «ритмичность», «ритмические процессы» иногда говорят «циклические», «вибрационные» и т.п. Кроме того, само слово «ритмичность» часто трактуется неоднозначно, что можно наблюдать даже среди специалистов технических специальностей, в учебно-справочной литературе. Говоря о ритмических сигналах, будем считать, что сами сигналы имеют стохастический характер, но при этом их определенные вероятностные характеристики повторяются, изменяются периодически.

По вселенским часам

Все, о чем мы расскажем в этой статье, — не чистая теория, а реальные проблемы, которые нам рано или поздно придется решать.

Примеры ритмических сигналов можно найти как во многих областях науки и техники, так и в повседневной жизни. Для объяснения сути ритмичности обратимся к примеру энергонагрузок. На рисунке 1 приведен график нагрузки «Киевэнерго» за семь осенних дней, причем с 1-го по 5-й – это рабочие дни, а 6-й и 7-й – выходные. Визуальный анализ графика показывает, что наблюдается приблизительная повторяемость значений нагрузки через период Т = 24 ч.; повторяются скорости роста и спада нагрузок в соответствующих интервалах времени; значения нагрузок в ночные часы тоже близки между собой. Вместе с тем привлекает внимание определенное отличие между нагрузками в рабочие и выходные дни. Так, нагрузки в рабочие дни в течение приблизительно с 7.00 до 18.00 значительно превышают соответствующие нагрузки в выходные. Среди рабочих дней выделяется график нагрузки за понедельник. В определенной степени он занимает среднее положение между графиками за последующие четыре рабочих дня, с одной стороны, и графиками за выходные дни – с другой. Кроме того, во все дни недели значительный рост нагрузки наблюдается в 21.00.

Для характеристики графиков нагрузок сегодня используют целый ряд параметров. Это, прежде всего, минимальное, максимальное и среднесуточное значения нагрузок, выраженные в абсолютных единицах или в процентах относительно максимальной нагрузки; плотность суточного, недельного, месячного и годового графиков; коэффициент суточной неравномерности энергопотребления. К главным показателям качества относят отклонения (в процентах) напряжения и частоты от их номиналов; размах колебаний частоты в процентах и т.п.

Однако упомянутые параметры и существующие методы обработки графиков энергонагрузок не учитывают вероятностных характеристик ритмичности, которые, как отмечалось, изменяются периодически. Хотя не вызывает сомнений, что оценка именно такого рода характеристик позволила бы иметь и объективную картину энергопотребления, более достоверно рассчитывать его прогнозные графики. Эти вопросы, особенно касающиеся прогноза, чрезвычайно важны, поскольку именно от его достоверности существенно зависит решение вопроса оптимизации управления режимами энергосистем, повышения эффективности и надежности их функционирования.

Кроме энергонагрузок ритмически с периодом Т = 24 ч. изменяется частота в электросетях, напряжение. Ритмичный характер имеют также потребление газа, тепла, воды в коммунальном хозяйстве города, отдельных регионах.

Еще одним примером ритмических сигналов являются входящие потоки большинства систем массового обслуживания. Это, в частности, вызовы, поступающие на АТС, скорую помощь, информационные потоки в интернет-сетях, потоки автомобильного транспорта, интенсивность взлетов и посадок самолетов в аэропортах и т.п.

К ритмическим относятся многие шумоподобные сигналы. В электро- и радиотехнике – это суточный шум электронных приборов в ненасыщенном режиме, когда средний ток изменяется периодически; магнитные шумы ферромагнетиков при их циклическом перемагничивании; переполяризация диэлектриков. В акустике – виброакустические шумы многих машин, механизмов; шумы кавитации гребных винтов кораблей и подводных лодок; акустические шумовые сигналы, возникающие при циклических нагрузках конструкционных материалов.

Другим ярким примером ритмических сигналов являются метеофакторы. Так, ритмически с периодом Т = 24 ч. изменяется температура окружающей среды, освещенность, причем этим метеофакторам, кроме суточной периодичности, присуща также сезонная (годовая) периодичность.

Ритмически пульсирует излучение звезд, внутри которых происходят циклические ядерные реакции. Ритмичность наблюдается также в солнечной активности, которая проявляется в ритмичности магнитных возмущений и которую характеризуют числами Вольфа – интегральными показателями числа солнечных пятен. О ритмической активности Солнца много говорится в замечательной книге Александра Чижевского «Земное эхо солнечных бурь». На объемном статистическом материале автор иллюстрирует, что наряду с ритмичностью магнитных возмущений наблюдается ритмичность вспышек эпидемий и ряда других массовых заболеваний, причем период их ритмики совпадает с периодом магнитных возмущений.

Обнаружено, что урожайность некоторых зерновых и других культур тоже носит ритмический характер и вызвана ритмичностью солнечных пятен. Исследования также показали, что качество вина, его наиболее тонкие вкусовые нюансы улучшаются в годы максимальной сонцедеятельности.

Но, как и в случае с энергонагрузками, есть основания утверждать, что в прикладных задачах обработки магнитных возмущений, оценки их влияния на протекание тех или иных физиологических процессов практически не используются статистические методы, учитывающие ритмичность магнитных возмущений и их вероятностные характеристики.

Довольно много примеров ритмических сигналов можно привести из биомедицины. Прежде всего, это хорошо известные всем электрокардиограммы и спирограммы. В книге Ю.Батулина «Учу жить без лекарств» перечислено тридцать шесть суточных ритмов человеческого организма. В ритмическом режиме функционируют многие биологические системы, классическим примером которых является система «хищник—жертва».

Нельзя не назвать и экономику, где также встречается много ритмических сигналов, процессов. Один из таких примеров – промышленные кризисы. Это показал в своих фундаментальных работах всемирно известный украинский ученый-экономист М.И.Туган-Барановский. Одна из его книг — «Промышленные кризисы. Очерк из социальной истории Англии» немалыми усилиями переиздана в 2004 году в издательстве «Наукова думка». К выводу о ритмичности промышленных кризисов (в приведенной книге автор преимущественно использует понятия «периодические кризисы», иногда «циклические») он пришел на основе глубокого и всестороннего исследования развития английской промышленности и торговли в течение почти всего ХІХ века. Хорошо известны также «длинные волны» Н.Д.Кондратьева (ученика Туган-Барановского), описывающие характерные для развития экономики волнообразные колебания.

Ритмы и алгоритмы

Когда мы имеем дело с ритмическими сигналами, возникает много разнообразнейших задач изучения их аналитическими методами, исследования методами математической статистики. Наиболее важными являются такие из них: оценка периодических вероятностных характеристик ритмических сигналов, расчет их долгосрочных или краткосрочных прогнозных значений и использование полученных результатов в задачах оптимизации, повышения эффективности и надежности систем, функционирующих в условиях ритмики.

Для решения сформулированных задач удобно и практически выгодно использовать результативный в современных прикладных исследованиях подход, суть которого сводится к триаде «модель-алгоритм-программа». В соответствии с этим подходом на первом этапе обосновывается модель сигнала (явления), на втором – разрабатываются аналитические методы и алгоритмы его исследования, на третьем этапе создается соответствующее программное обеспечение. Основным в этом подходе, безусловно, является первый этап – построение модели. Главная причина в том, что насколько модель точно описывает объект, полно учитывает интересующие нас особенности (то есть насколько модель адекватна), настолько успешным будет решение поставленной задачи: будут удачными алгоритмы анализа сигналов и достоверными результаты их обработки. Остановимся на первом этапе триады – «модель».

Что касается ритмических сигналов, то на данное время существует целый ряд классов случайных процессов и последовательностей, так или иначе учитывающих вероятностные характеристики ритмичности. Прежде всего это периодически корелированные случайные процессы, впервые введенные Александром Коронкевичем в 1957 году. Для этих процессов периодическими являются математическое ожидание и корреляционная функция. Позднее были введены периодические случайные процессы (по Слуцкому), для которых периодической является их многомерная функция распределения, дающая возможность учесть периодичность высших моментных функций.

Довольно удачным оказался класс периодических белых шумов с непрерывным аргументом (1996 год). Эти работы проводились в Институте электродинамики НАНУ и были продолжены на кафедре компьютерных наук (КН) Тернопольского государственного технического университета имени Ивана Пулюя. Кроме самостоятельного значения, которое имеют эти шумы, они выступают как одна из основных причин возникновения ритмичности сигналов, моделями которых являются линейные случайные процессы. Их использование позволило обосновать модели многих ритмических сигналов типа дробового эффекта в виде линейных периодических процессов. Именно таким путем была обоснована модель энергонагрузок (1992—2001 годы) и разработаны методы их статистического анализа и прогноза. В виде линейных периодических случайных процессов также обоснована модель виброакустических шумов, имеющих ритмический характер, модель газопотребления, ряд других ритмических сигналов.

Довольно интересными и результативными в прикладном отношении оказались периодические белые шумы с дискретным аргументом, которые были впервые рассмотрены в 1998—2001годах на кафедре КН ТГТУ. В рамках этого класса выделен гауссовский периодический белый шум, пуассоновский, равномерный, экспоненционный и прочие периодические белые шумы с конкретными распределениями. Выяснилось также, что когда в последовательностях скользящего среднего и авторегрессии порождающие шумы являются периодическими, то сами последовательности тоже становятся периодическими. Этот факт имеет прикладное использование в задачах обоснования моделей дискретных ритмических сигналов и разработки методов их статистического анализа.

Большой интерес для специалистов представляют марковские процессы и цепи Маркова, российского ученого, работавшего на рубеже XIX и XX веков. Причина в том, что они являются моделями многих сигналов и стохастических систем, для которых выполняется условие марковости, в простейшем виде формулирующееся как независимость будущего от прошлого, при условии, что известно настоящее. Хорошо изучены однородные марковские процессы и цепи. А как быть, если для сигналов или систем марковского типа также характерна ритмичность? К счастью, и для этого случая введены класс марковских периодических процессов (2003 г.) и класс периодических цепей Маркова (2004 г.). Для периодических цепей Маркова в ТГТУ разработаны методы их имитационного моделирования, оценки матриц переходов, расчета краткосрочных прогнозных значений, что, бесспорно, найдет прикладное использование в задачах анализа и прогноза ритмических сигналов марковского типа.

В последние годы ученые кафедры компьютерных наук Тернопольского государственного технического университета имени Ивана Пулюя проводят интенсивные исследования ритмических сигналов, период которых может изменяться во времени. Примером таких сигналов являются электрокардиограммы, полученные сразу же после действия физической нагрузки, например, после интенсивного приседания пациента. При изучении таких сигналов уже получен ряд весомых результатов, в частности, введен новый класс функций – периодических функций с переменным периодом (2005 г.). На этой основе введен класс периодических случайных процессов с переменным периодом, которые могут использоваться как модель соответствующих сигналов. Верится, что эти процессы найдут надлежащее применение в диагностике, оценке функционального состояния пациентов, действенности реабилитационных процессов, в спортивной и космической медицине.

В заключение следует обратить внимание на еще один интересный класс процессов – класс периодически коррелированных случайных процессов с функционально зависимыми через период вероятностными характеристиками (2006 г.). Эти процессы успешно используются как модель газопотребления, если его рассматривать на отрезках времени, соразмерных с годом. В самом деле, газопотребление является ритмическим в зимние и в летние месяцы, но если графики за эти месяцы сравнивать между собой, то хорошо видно, что газопотребление зимой значительно интенсивнее, чем летом. По этой причине и вероятностные характеристики газопотребления за эти периоды существенно отличаются. Приведенный класс процессов как раз и позволяет учесть кроме ритмичности газопотребления также его отличия (в нашем случае — в летние и зимние месяцы) в виде той или иной функциональной зависимости между их вероятностными характеристиками, взятыми через период, причем эта зависимость может быть выбрана произвольно, как того требует постановка задачи.

В программе – надежда

Третий этап триады – «программа» (имеется в виду программное обеспечение для ЭВМ). Для статистического анализа и расчета прогнозных значений для некоторых из рассмотренных выше классов периодических процессов и последовательностей такие программы уже разработаны и успешно используются. Рассмотрим лишь примеры оценок периодического математического ожидания энергонагрузок, модель которых, как уже отмечалось, обоснована в виде линейного периодического процесса. Благодаря успешному сотрудничеству специалистов Института электродинамики НАНУ и КН ТГТУ проведен тщательный статистический анализ реальных данных. На рисунке 2 приведены оценки математического ожидания нагрузки для «Киевэнерго» за сентябрь одного из предыдущих годов. График 1 – это оценка, полученная с использованием данных за все дни месяца; график 2 – оценка математического ожидания энергопотребления в рабочие дни; график 3 – оценка за выходные дни. Анализ результатов оценивания показывает, что оценка математического ожидания нагрузки с 24.00 до 5.00 для рабочих и выходных дней совпадают. Во все последующие часы энергопотребление в рабочие дни превышает соответствующее потребление в выходные, особенно значительное превышение нагрузки наблюдается с 8.00 до 18.00. Самое большое энергопотребление как в рабочие, так и выходные дни — в 21.00.

Интересными с точки зрения изменения объема и закономерностей энергопотребления в Украине являются результаты, показанные на рисунке 3, где приведены оценки математического ожидания нагрузок «Киевэнерго» в мае 1986-го, в 1987-м и 2002 годах. Анализ свидетельствует о значительном сокращении потребления электроэнергии в 2002 году (график 3) по сравнению с энергопотреблением в 1986 (график 1) и 1987 (график 2) годах. Изменился и характер энергопотребления. В 2002-м он более равномерный в течение суток, за исключением периода с 21.00 до 23.00.

Подобно оценке периодического математического ожидания могут быть получены оценки периодического среднеквадратичного отклонения, что характеризует неравномерность энергопотребления, оценки корреляционных связей между энергопотреблением и другими влиятельными факторами, в частности метеорологическими. Такого рода результаты представляют определенный интерес для специалистов электроэнергетики, особенно диспетчеров АДСД-энергосистем, облэнерго.

Кроме методов оценивания периодических вероятностных характеристик, примеры которых из области электроэнергетики мы уже приводили, тернопольские ученые разработали также методы прогноза периодических процессов и последовательностей. Соответствующее программное обеспечение использовалось снова-таки для расчета прогнозных графиков некоторых энергосистем Украины. Результаты прогноза оказались более точными по сравнению с прогнозными значениями, рассчитанными традиционными методами. Однако важно подчеркнуть, что для расчета прогнозных значений необходим большой статистический материал. Например, чтобы рассчитать суточные почасовые графики энергонагрузок на следующий год, необходимы графики энергопотребления хотя бы за три-четыре предыдущих года. В заключение отметим, что в силу определенных причин, больше объективных, чем субъективных, модели ритмических сигналов и стохастических систем, функционирующих в условиях ритмики, методы их статистического анализа, прогноза пока что недостаточно используются в прикладных исследованиях и отраслях украинской экономики. Есть надежда, что объективная необходимость более жесткой политики энергосбережения и расширения наукоемких производств заставит обратить внимание на фундаментальные исследования ритмичности, и они займут надлежащее им место.