Квазікристальні арабески

Напередодні іудейського Нового року Рош а-Шана на Землю Обітовану прийшла чергова Нобелівська премія. Причому за відкриття, сутність якого відображено ще в давніх мечетях Сходу. А от реальне наукове обґрунтування воно дістало лише на межі двох наших століть завдяки роботам ізраїльського професора Даніеля Шехтмана.

«Воно вже було в віках…»

Усе за царем Соломоном: архітектори й художники середньовіччя перевершили багатьох просунутих учених — наших сучасників. Уважалося, що математика й кристалографія найвищого рівня — досягнення ХХ—ХХІ століть. Але, як виявилося, дещо із цього було вже майже сім сторіч тому. Сучасну науку передбачили не кращі математики ­Магрибу й Халіфатів, а звичайні художники й каменотеси з тих країв. А може, і не дуже звичайні.

Англійський математик­ сер Роджер Пенроуз­ придумав 1973 року оригінальний спосіб неперіодичної розбивки площини — особливу мозаїку з геометричних фігур, названу його ім’ям. Конструкція являє собою візерунок, складений із багатокутних плиток двох певних форм (ромбів двох типів), що вкривають нескінченну площину без прогалин. Пенроуз хотів знайти таку фігуру, яка, покривши площину, не створювала б повторюваних візерунків, і домігся свого — мозаїка Пенроуза аперіодична. Візерунки — квазікристалічної форми, вона має осьову симетрію 5-го порядку.

Довгий час вигадка Пенроуза вважалася милою математичною абстракцією. Та от 2007 року фізик із Гарварда (США) Пітер Лу  разом з колегою із Принстона Полом Стейнхардтом­ опублікував у Science статтю, присвячену мозаїкам. У ній несподіваного було начебто небагато: відкриття професором Даном  Шехтманом квазікристалів у 1984-му привернуло жвавий інтерес до цієї теми, викликавши лавину публікацій у наукових виданнях. Пол Лу звернув увагу на візерунки, що покривають мечеті, побудовані в 1200—1600 роках в Азії. Ці малюнки на стінах і склепіннях, які дуже легко впізнати, зроблені з мозаїчної плитки. Вони мають назву гіріхи (від арабського «вузол») і являють собою геометричний орнамент із багатокутних фігур, властивий ісламському мистецтву. Цю красу й сьогодні можна бачити в узбецьких Бухарі й Самарканді, іспансько-мавританській Альгамбрі й саудівських Мецці з Мединою.

Лу і Стейнхардт виявили, що ці орнаментальні схеми фактично ідентичні, зумівши виділити основні елементи гіріхів. Крім того, знайшли креслення цих зображень у стародавніх манускриптах, якими давні художники користувалися як такою собі шпаргалкою з прикрашання стін мечетей-мінаретів. Саме ці давні візерунки через сторіччя назвуть ґратами Пенроуза й знайдуть у структурі квазікристалів (ККС)! А ще 3D-узагальнення англійської мозаїки, складене із двох ромбоед­рів, називається сіткою Аммана-МакКея. Так само, як і в площинному варіанті, вони не мають загальних внутрішніх точок, між ними немає проміжків і їхнє відношення точно дорівнює величині золотого перерізу. Заповнення простору цими ромбоедрами пов’язане із симетрією ікосаедра й утворює регулярний квазікристал. Отак математична абстракція стала моделлю, що описує внутрішню будову квазікристалів. А зразком майже ідеальної ККС дослідники вважають святилище імама Дарб-і в іранському Ісфахані, датоване 1453 роком.

«Дивись — ось нове!»

Досі достеменно невідомо, хто й коли сформулював правила, за якими середньовічні архітектори прикрашали мечеті. Уважається, що головною причиною появи мудрованого орнаменту було табу в Корані на зображення людей і тварин, тому в оформленні будинків великої популярності набув геометричний візерунок. Ще майстри XII—XV століть якось примудрялися робити його різноманітним. Отож, їхній секрет — саме у використанні мозаїки, яка може, залишаючись симетричною, заповнювати площину, узагалі не повторюючись.

Інший «фокус» цих зображень у тому, що, копіюючи такі схеми в різних храмах за кресленнями, художники неминуче мали б припуститися спотворення. Але такі порушення мінімальні. Пояснюється це тим, що в масштабних кресленнях сенсу не було: головне — принцип, за яким створюють картину.­

Для складання гіріхов застосовували плитки п’яти видів (десяти- і п’ятикутні ромби й «метелики»), які щільно прилягають одна до одної, не залишаючи вільного простору між собою. Мозаїки, створені з них, могли мати як одночасно обертальну й трансляційну симетрію, так і тільки обертальну симетрію п’ятого порядку (тобто мозаїки Пенроуза). І все-таки найголовніше запитання: як же середньовічні араби могли додуматися до зображення ККС, які відомі нам менше трьох десятиліть? Чи може це бути доказом величезної ролі математики в середньовічному ісламському мистецтві чи це лише найпростіший спосіб «складання» авторами своїх творів? Таємниця ця схована в століттях.

Пізніше довідалися, що заборонена в класичній кристалографії симетрія 5-го порядку широко представлена в живій природі: її мають деякі види вірусів, мешканці моря — морські їжаки, морські зірки, окремі види водоростей. Таку ж поворотну симетрію мають суцвіття багатьох рослин. До навколишнього світу після відкриття ККС придивилися ще уважніше: з’ясувалося, що лусочки ялинових шишок, насіння соняшника, зерна кукурудзяного качана теж утворюють структуру, близьку до квазікристалів.

До речі, американська асоціація сприяння розвитку науки (AAAS) з радощів випустила з такої щасливої нагоди прес-релізи про дослідження Лу—Стейнхардта персидською, арабською і турецькою мовами (певне, як «відкіт» за натхнення).

«Про що кажуть»

Відкриття квазікристалів цілком укладається в нобелівський рівень. Хіміки твердять, що це новий і дуже несподіваний погляд на будову кристалів, новий спосіб вивчати хімію світу. Деякі вчені згадали, що одержували такі ж результати, відкинувши їх через явну невірогідність. Для багатьох заяви Д.Шехтмана&Co стали справжнім дежавю. Долучилися й математики, які давно вже намагалися розібратися в системах аперіо­дичних мозаїчних структур, на зразок тих, які бачив ізраїльський професор. Його робота й загадка, задана їм, у підсумку привели до розв’язання проблеми. І до одержання індивідуальної «хімічної» Нобелівки. Деякі хіміки досить здивувалися звісткам зі Стокгольма, оскільки перша стаття про це відкриття, надрукована 1984 року в журналі Physical Review Letters, мала чотирьох авторів, двоє з яких (крім самого Шехтмана) — Деніс Гратіас і Джон Кан — зробили занадто великий внесок у відкриття, щоб їх можна було проігнорувати.

Так, у практиці присудження Нобелівських премій усе рідше трапляється, щоб весь приз у $1,5 млн одержала одна людина. Наука дуже змінилася за сотню років із часу підпису під заповітом великого «динамітника» А.Нобеля: епохальні відкриття вищої категорії науково-технічної значущості сьогодні не роб­лять одинаки. І Нобелівський комітет не знає, як із цим бути. Як відомо, журі досить часто припускається таких помилок. Однак тут інший випадок, тому Комітет-2011 вчинив і розумно, і мудро. Премію Шехтману, здається, дали не так за самі квазікристали, як за завзятість у відстоюванні своєї позиції проти всього наукового світу.

Із перших уст

Даніель Шехтман:

— Ця історія показала мені, що добрий учений — це той, хто прислухатиметься до наукових новин, навіть якщо вони зовсім несподівані. Бо сьогоднішні відкриття можуть бути тільки несподіваними, інакше їх було б зроблено вже дуже давно. Це що-небудь нове, те, що не дозволено визнаними сьогодні законами…