Такі непрості прості числа

Прості числа (ті натуральні числа, які мають тільки два натуральних дільники: одиницю й саме себе) зовсім не такі прості, як може здатися на перший погляд. Скоріше навпаки: серед різних чисел вони приховують, напевно, найбільшу кількість загадок, над якими от уже багато сторіч б’ються кращі математики.

17 вересня виповнюється 185 років від дня народження Георга Рімана — ученого, який за десять років наукової діяльності змінив математику.

Два, три, п’ять, сім, одинадцять, тринадцять, сімнадцять… — щороку математики знаходять усе більші й більші прості числа. Якщо за часів Ейлера таким було 2147483647, то сьогоднішній рекордсмен — 2 у ступені 43112609 мінус 1 — у десятковому записі має 12978189 розрядів! Але математиків набагато більше за конкретні прості числа цікавлять пов’язані з ними закономірності: скільки їх, яка логіка їхньої появи серед натуральних чисел тощо. І якщо нескінченність кількості простих чисел зумів довести ще Евклід, то друге питання математики не можуть розв’язати досі.

Світло на нього кинуло випадкове відкриття польсько-американського математика Станіслава Улама (до речі, наш співвітчизник — він народився в польському тоді Львові). Якось 1963 року, сидячи на нудній доповіді, учений почав за спіраллю заповнювати числами клітинки листка у зошиті, при цьому машинально відзначав серед них прості. Виявилося, що прості числа розташовуються не хаотично, а утворюють орнаменти з діагональних ліній.

Сучасні комп’ютери будують такі «вишиванки» (математики не дуже шанобливо називають їх «скатертинами Улама») для десятків мільйонів чисел, і знайдена закономірність підтверджується. Однак підвести під цю «красу» міцний теоретичний фундамент поки не вдалося.

Сторіччям же раніше, за часів Георга Рімана, і ця закономірність була не відома. Ріману вдалося здійснити «прорив»: він виявив, що кількість простих чисел, які не перевершують дане, пов’язана з розподілом особливої так званої дзета-функції. Помічену закономірність Ріман успішно перевірив на величезній кількості прикладів, але остаточно довести її не зміг — обмежився формулюванням відповідної гіпотези.

1900-го, через 34 роки після смерті Рімана, його загадкову гіпотезу Давид Гільберт включив під номером 8 у свій знаменитий список найбільших проблем математики. Показово, що сам Гільберт багато очікував від її розв’язання. Коли його запитали, що б він зробив, проспавши п’ятсот років, він відповів: «я б поцікавився, чи доведено гіпотезу ­Рімана».

Минуло ще століття, і Математичний інститут Клея у 2000 році оприлюднив новий список — так звані «Проблеми тисячоліття», за вирішення кожної з яких обіцяно мільйон доларів. Час показав обґрунтованість переваг Гільберта: більшу частину з його 23 проблем було розв’язано протягом XX сторіччя, деякі відхилені як занадто загальні або некоректно сформульовані. І тільки одна, та сама 8-ма проблема, перекочувавши в «Список тисячоліття», досі кидає виклик математичній науці.

Цікаво, що прості числа не були основним об’єктом досліджень Рімана. Учений прийшов до них наприкінці своєї творчості, бувши фахівцем у галузі теорії функцій. Із функцій же, до речі, і почався його науковий шлях: у 1851 році він здобув докторський ступінь за роботу «Засади теорії функцій комплексної змінної». Тоді Ріман уперше описав названу пізніше його ім’ям поверхню; з вивчення її властивостей почався ще один «неосновний» напрям досліджень, що став початком нової геометрії.

Ріман оформив свої гео­метричні ідеї, які виросли з теорії функцій, у знаменитій лекції «Про гіпотези, що лежать у основі геометрії» 1854 року. Читав він її «вимушено» — перед професорами Геттінгенського університету, сподіваючись обійняти викладацьку посаду. Розуміння й підтримки в потенційних колег він тоді не зустрів, можливо, через панічний страх публічних виступів, і в підсумку залишився без роботи. Лише пізніше влаштувався приват-доцентом читати спецкурс з одного з видів функцій. Бажану посаду екстраординарного професора Ріман одержав лише трьома роками пізніше — після того, як опублікував фундаментальну працю в цій галузі.

У створеній новій геометрії Ріман порушив на той час абсолютно «нематематичні» питання. Зокрема, існування метрики вчений пояснював властивостями самого простору, фізичними силами зв’язку. З цього погляду ріманова геометрія стала предтечею теорії відносності. «Ріман першим поширив ланцюг міркувань Гаусса на континууми довільного числа вимірів, — сказав про нього Ейнштейн, — він пророчо передбачив фізичне значення цього узагальнення евклідової геометрії».

Важливою заслугою вченого стали перші, незрозумілі сучасникам думки про те, що геометрія мікро- і макросвіту зовсім не обов’язково має збігатися зі звичною тривимірною евклідовою. «Емпіричні поняття, на яких ґрунтується встановлення­ просторових метричних відносин, — поняття твердого тіла й світлового променя, очевидно, втрачають усяку визначеність у нескінченно малому, — писав він. — Вони мають бути перевірені також і в напрямку незмірно великого».

Утім, не дивно, що Ріман у своїй математиці дуже близько підійшов до фізичних проблем, адже його вчителем був Карл Гаусс, про якого важко сказати, ким він був більше — математиком чи фізиком. Якийсь час Ріман навіть читав у Геттінгені курс математичної фізики.

Внесок, зроблений Георгом Ріманом у науку, важко переоцінити. І це тим дивніше, що йому судилося працювати лише десять років: у 1866 році, не доживши до сорока років, учений помер від туберкульозу. У 1866-му учні зібрали й посмертно видали всі його праці — набралося на маленький томик. Потрапив туди й збережений текст неприйнятого геттінгенськими професорами виступу.