Загадки Августа Мебіуса
Легендарна проблема чотирьох фарб і однобічна стрічка — найефектніші, але зовсім не єдині відкриття, пов’язані з ім’ям видатного німецького математика Августа Фердинанда Мебіуса, 120-річчя від дня народження якого світова спільнота відзначила 17 листопада.
Кого з нас у дитинстві не заворожувала строкатість політичного глобуса? Однак це розмаїття фарб має передусім суто практичну мету — зробити так, щоб країни не зливалися одна з одною. Якщо у двох держав хоч кілометр спільного кордону, вони мають бути пофарбовані в різні кольори. І скільки фарб, у принципі, достатньо для такої мети? Двадцять? Десять? А може, лише п’ять?
У 1852 році студент, а згодом відомий південноафриканський математик Френсіс Гутрі поставив собі за мету довести можливість розфарбування сфери чотирма кольорами. Відтоді проблема чотирьох кольорів — а до неї, як виявилося, зводиться багато фундаментальних завдань — є однією з найвідоміших у математиці.
Мало хто знає, що ще в 1840 році, за дванадцять років до Гутрі, аналогічне завдання сформулював Август Мебіус, ім’я якого сьогодні зазвичай асоціюється з іншою «іграшкою» — стрічкою з однобічною поверхнею, яку названо його ім’ям.
Із проблемою чотирьох кольорів не змогли впоратися ні Мебіус, ні Гутрі. Згодом багато великих математиків «приймали виклик», але розв’язати на перший погляд просту задачку не змогли. Усілякі вигадані карти розфарбувати вдавалося. Але математика, як відомо, наука точна, і поки можливість розфарбування не конкретної, а будь-якої карти не була доведена, в історії не можна було ставити крапку. У 1879 році доказ запропонував талановитий англійський математик-самоук адвокат Альфред Кемпе, однак уже через рік воно було спростоване. Правда, на підставі його ідей удалося довести, що можна розфарбувати глобус п’ятьма кольорами. У тому ж 1880-му свою розробку надав авторитетний шотландський математик Пітер Тет; його доказ протримався довше — одинадцять років, однак теж був спростований. Цікаво, що в самих картографів такої проблеми взагалі не було: усі реальні карти добре розфарбовувалися не тільки чотирма, а часом навіть трьома кольорами, тож більш «земні» географи жартували над диваками-математиками, що воюють із власноручно побудованими вітряками.
Рішення було знайдено тільки в 1976 році, ставши знаковою подією у світовій науці. Для доказу авторам — Кеннету Аппелю й Вольфгангу Хакену з Іллінойського університету знадобився комп’ютер, що зробило проблему чотирьох фарб першим серйозним завданням, вирішеним за допомогою обчислювальної машини. Ця ж обставина викликала скепсис у багатьох представників математичної науки: на їхню думку, доказ мав бути простим і аналітичним. Однак у цьому випадку без техніки обійтися було просто неможливо: один тільки алгоритм доказу займав… 741 сторінку, а про те, щоб реалізувати його «у думці», не могло бути й мови.
Стрічка Мебіуса — не менш яскравий приклад «несерйозного» винаходу геніального математика. Для більшості з нас це лише цікава математична іграшка. Зробити її може й дитина, досить склеїти паперову смужку, попередньо повернувши один торець на 180 градусів. Поверхня, яка вийшла, однобічна — у тому розумінні, що з будь-якої точки в іншу можна потрапити, не перетинаючи край. У цьому можна легко переконатися, малюючи на стрічці лінію: через якийсь час виявиться, що вона проходить і внутрішньою, і зовнішньою стороною. Стрічка Мебіуса має багато чудових властивостей: розріжте її уздовж посередині, і ви одержите… одну, удвічі більше закручену стрічку. Якщо ж різатимете, відступивши від краю на третину, одержите дві стрічки, зчеплені в гірлянду. На цих фокусах у багатьох хлопчаків і дівчаток формувалася любов до математики, однак цінність стрічки зовсім не обмежується педагогічним моментом. Створена в 1858 році, вона ознаменувала початок у математиці ери топології — науки про безперервність і незмінні властивості простору. До речі, сам по собі факт відкриття першої однобічної поверхні вчений не вважав серйозним результатом: на його думку, наукову цінність являли властивості й узагальнення встановлених на ній закономірностей. Можливо, тому стаття про стрічку була опублікована вже посмертно.
Дійсно, фахівці знають Мебіуса як автора фундаментальних праць в галузі геометрії й теорії чисел. У проективній геометрії він увів загальне поняття проективного перетворення, яке сьогодні відоме як перетворення Мебіуса. Аналітичну геометрію він збагатив дослідженням властивостей просторових алгебраїчних кривих третього порядку й введенням барицентричних координат, що описують положення довільної точки через центр мас інших точок. У золотий фонд теорії чисел назавжди ввійшла мультиплікативна арифметична функція, що характеризує розкладання числа на прості дільники, — функція Мебіуса…
Різнобічністю наукових інтересів Август Мебіус багато в чому завдячує своєму вчителеві, відомому математикові й астрономові Карлові Моллвейде. Це під його впливом студент Лейпцизького університету після першого семестру перейшов з юридичного на математичний факультет. І це Моллвейде виклопотав для свого талановитого учня шикарне післядипломне стажування: спочатку в Геттінгені слухати лекції з астрономії самого Карла Гаусса, а потім у Галлі вдосконалюватися в математиці у Йоганна Пфаффа, учителя Гаусса. Не виключено, що завдяки авторитету Моллвейде Мебіус, який працював над докторською дисертацією, уник призову в прусську армію. Після захисту, у 1816 році, двадцятишестирічний Мебіус за рекомендацією вчителя був призначений екстраординарним професором астрономії в Лейпцизькому університеті. Тоді ж він почав працювати в знаменитій Плейсенбурзькій обсерваторії під Лейпцигом — спочатку астрономом-спостерігачем, а згодом і директором.
Мебіус-астроном залишив після себе порівняно мало робіт — із планетарних затемнень, принципів астрономії й небесної механіки. Однак у цьому випадку невелика кількість сповна компенсується якістю: усі його праці містять безліч надзвичайно оригінальних математичних ідей, що помітно відрізняє роботи Мебіуса від більшості творів інших астрономів-практиків того часу. А зовсім недавно, десять років тому, Август Мебіус ще раз і назавжди ввійшов в аннали астрономії: його ім’ям названо нововідкритий астероїд 28516.
